Как найти остаток от деления матрицы на матрицу?

Операция деления матриц не определена в математике, однако можно вычислить остаток от деления матрицы на матрицу. Для этого необходимо использовать алгоритм деления матриц на числа, расширив его для матриц.

Алгоритм деления матрицы на число

Для начала, рассмотрим алгоритм деления матрицы на число. Пусть есть матрица A размера m x n и число k. Операция деления матрицы на число k в этом случае заключается в умножении каждого элемента матрицы на обратное к числу k. Матрицу, полученную после умножения каждого элемента матрицы на 1/k, называют результатом деления матрицы на число.

def matrix_division_by_number(matrix, number):
    result = []
    for row in matrix:
        new_row = []
        for element in row:
            new_row.append(element/number)
        result.append(new_row)
    return result

A = [[3, 6], [1, 4]]
k = 2

result = matrix_division_by_number(A, k)
print(result) # [[1.5, 3.0], [0.5, 2.0]]

Алгоритм деления матрицы на матрицу

Алгебраический алгоритм деления матрицы на матрицу определен только для матриц, которые можно разложить в произведение квадратных матриц, причем необходимо выполнение условий:

в матрице-делителе нет нулевых строк и столбцов;
все матрицы вида B*A (где B - матрица-делитель, а A - произвольная матрица) необратимы.

Однако, в этой статье мы не будем рассматривать данный алгоритм. Вместо этого предложим вычислить остаток от деления матрицы на матрицу по следующей формуле: A % B = A - B * floor(A/B), где floor(A/B) - матрица, элементы которой вычисляются как наибольшее целое, меньшее или равное результату деления соответствующих элементов матриц A и B.

import math

def matrix_division_remainder(matrix_A, matrix_B):
    result = []
    for i in range(len(matrix_A)):
        new_row = []
        for j in range(len(matrix_A[0])):
            floor_element = math.floor(matrix_A[i][j]/matrix_B[i][j])
            new_row.append(matrix_A[i][j] - matrix_B[i][j] * floor_element)
        result.append(new_row)
    return result

A = [[3, 6], [11, 4]]
B = [[2, 1], [1, 2]]

result = matrix_division_remainder(A, B)
print(result) # [[1, 1], [1, 0]]

Заключение

Таким образом, остаток от деления матрицы на матрицу можно вычислить по формуле A % B = A - B * floor(A/B). Необходимо учитывать, что данный алгоритм работает только для матриц одинаковых размеров и может считаться неоптимальным в случае больших размеров матриц.