Помогите, пожалуйста, как в Евклидовом пространстве найти: расстояния между векторами, от вектора до подпространства и п

Евклидово пространство — это очень важный объект в математике и физике. Оно дает возможность описывать множество явлений, которые происходят в реальном мире. Евклидово пространство является наиболее изученным объектом в линейной алгебре, поэтому важно знать, как работать с ним.

Расстояния между векторами

В Евклидовом пространстве расстояние между двумя векторами определяется следующим образом:

$$ d(x,y) = ||x - y||,$$

где $x$ и $y$ — два вектора, а $||\cdot||$ — это норма вектора.

Существует несколько способов вычисления нормы вектора, например, $L_1$-норма, $L_2$-норма и максимальная норма. В Евклидовом пространстве наиболее часто используется $L_2$-норма:

$$ ||x||2 = \sqrt{\sum{i=1}^n x_i^2},$$

где $x_i$ — $i$-ая координата вектора $x$.

Таким образом, расстояние между двумя векторами в Евклидовом пространстве можно вычислить следующим образом:

import numpy as np

# x и y - векторы
def distance(x, y):
    return np.sqrt(np.sum((x - y)**2))

От вектора до подпространства

Пусть есть вектор $x$ и подпространство $L$, заданное базисом $B$. Необходимо найти расстояние между вектором $x$ и ближайшей точкой на подпространстве $L$.

Сначала найдем проекцию вектора $x$ на подпространство $L$. Проекцию можно найти следующим образом:

$$ x_{proj} = \sum_{i=1}^n \frac{x \cdot b_i}{b_i \cdot b_i} b_i, $$

где $b_i$ — $i$-й вектор базиса $B$, $n$ — размерность пространства.

Затем найдем расстояние между вектором $x$ и его проекцией $x_{proj}$:

$$ d(x, L) = ||x - x_{proj}|| $$

Таким образом, для нахождения расстояния от вектора $x$ до подпространства $L$ необходимо выполнить следующие шаги:

# x - вектор
# b - базис подпространства L
def distance_to_subspace(x, b):
    b = np.array(b)
    x = np.array(x)
    gram_matrix = b @ b.T
    proj = (x @ gram_matrix.I) @ b
    return distance(x, proj)

От вектора до плоскости

Пусть есть вектор $x$ и плоскость $\pi$, заданная уравнением $ax + by + cz + d = 0$. Необходимо найти расстояние между вектором $x$ и ближайшей точкой на плоскости $\pi$.

Первым шагом необходимо найти угол между вектором $x$ и нормалью к плоскости $\pi$:

$$ \cos \theta = \frac{n \cdot x}{||n|| \cdot ||x||}, $$

где $n = [a, b, c]$ — вектор нормали к плоскости.

Затем можно найти расстояние между вектором $x$ и ближайшей точкой на плоскости $\pi$:

$$ d(x, \pi) = ||x|| \cdot \sin \theta $$

Таким образом, для нахождения расстояния от вектора $x$ до плоскости $\pi$ необходимо выполнить следующие шаги:

# x - вектор
# a, b, c, d - параметры уравнения плоскости
def distance_to_plane(x, a, b, c, d):
    n = np.array([a, b, c])
    x_length = np.sqrt(np.sum(x**2))
    n_length = np.sqrt(np.sum(n**2))
    cos_theta = (n @ x) / (n_length * x_length)
    return x_length * np.sin(np.arccos(cos_theta))

Вывод

В данной статье были рассмотрены способы нахождения расстояний между векторами в Евклидовом пространстве, от вектора до подпространства и от вектора до плоскости. Каждый из этих способов можно использовать для решения задач в математике и физике. Надеемся, что данная статья окажется полезной для тех, кто занимается линейной алгеброй.