Решение уравнения 4(1/16)^x + 15(1/4)^x - 4 = 0

Уравнения являются важной частью математики и широко используются в различных областях науки и техники. Иногда возникает необходимость в решении сложных уравнений, включающих различные степени и основания. Одним из таких примеров является уравнение, которое мы рассмотрим в данной статье: 4*(1/16)^x + 15*(1/4)^x - 4 = 0.

Для решения данного уравнения нам потребуется применить некоторые математические методы. Давайте рассмотрим каждый из них по очереди.

Шаг 1: Замена переменных

Данное уравнение может быть решено путем замены переменных. Для этого введем новую переменную, например, y = (1/4)^x. Тогда наше уравнение can be rewritten as:

4*(1/16)^x + 15*(1/4)^x - 4 = 0

4 * (y^2) + 15 * y - 4 = 0

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение 4 * (y^2) + 15 * y - 4 = 0. Для его решения мы можем использовать стандартную формулу для квадратного уравнения:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

где a = 4, b = 15 и c = -4. Подставим значения и найдем значение дискриминанта:

D = (15)^2 - 4 * (4) * (-4)

D = 225 + 64

D = 289

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня.

Шаг 3: Нахождение корней

Далее, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √D) / 2a

Подставим значения:

y1 = (-15 + √289) / (2 * 4)

y2 = (-15 - √289) / (2 * 4)

y1 = ( -15 + 17 ) / 8

y1 = 2 / 8

y1 = 1 / 4

y2 = ( -15 - 17 ) / 8

y2 = -32 / 8

y2 = -4

Шаг 4: Обратная замена переменных

Теперь, когда мы нашли значения y, мы можем заменить их обратно в исходное уравнение и решить его относительно переменной x.

Для значения y1 = 1/4:

(1/4)^x = 1/4

x = 1

Для значения y2 = -4, так как основание не может быть отрицательным, корней в этом случае нет.

Заключение

Итак, мы рассмотрели решение уравнения 4*(1/16)^x + 15*(1/4)^x - 4 = 0. Последовательно применив различные шаги, мы нашли действительное решение x = 1. Кроме того, мы заметили, что уравнение не имеет решения для значения y2 = -4.