Напишите пожалуйста решение производной функции

Для того, чтобы найти производную функции, необходимо использовать определенные правила дифференцирования. Рассмотрим основные правила дифференцирования и их применение на примере функции.

Основные правила дифференцирования

Правило производной от константы

Если функция $f(x)$ является константой, то ее производная равна нулю:

$$ \frac{d}{dx} c = 0, $$

где $c$ – константа.

Правило производной от произведения

Если имеются две функции $u(x)$ и $v(x)$, то производная их произведения равна:

$$ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = \frac{du}{dx} \cdot v + \frac{dv}{dx} \cdot u. $$

Правило производной от частного

Если имеются две функции $u(x)$ и $v(x)$, то производная их отношения равна:

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{\frac{du}{dx} \cdot v - \frac{dv}{dx} \cdot u}{v^2}. $$

Правило производной от композиции функций

Если функция $f(x)$ может быть выражена как $f(g(x))$, где $g(x)$ – некоторая функция, то производная $f(x)$ равна:

$$ \frac{d}{dx}f(g(x)) = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}. $$

Пример решения производной функции

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$. Для того, чтобы найти ее производную, воспользуемся правилом производной от суммы:

$$ \frac{d}{dx} (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) = \frac{d}{dx} x^3 - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}2. $$

Применим правило производной от степени:

$$ \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2. $$

Применим правило производной от произведения:

$$ \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x. $$

Применим правило производной от константы:

$$ \frac{d}{dx}2 = 0. $$

Тогда получим:

$$ \frac{d}{dx} (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) = 3x^2 - 8x + 5. $$

Таким образом, производная функции $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$ равна $3x^2 - 8x + 5$.