Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений с 5 неизвестными и 3 строками
Метод Гаусса - это способ решения системы линейных уравнений путем последовательного преобразования ее матрицы так, чтобы она приняла треугольный вид, а затем решения системы свелись к последовательному вычислению неизвестных.
Предположим, у нас есть система линейных уравнений с 5 неизвестными и 3 строками:
ax + by + cz + dw + e = f
gx + hy + iz + jw + k = l
mx + ny + oz + pw + q = r
Запишем ее в виде матричного уравнения:
| a b c d e | | x | | f |
| g h i j k | * | y | = | l |
| m n o p q | | z | | r |
Для применения метода Гаусса к данной системе, необходимо последовательно выполнить следующие шаги:
- Вычесть из первой строки уравнение, умноженное на
g/a
(так, чтобы элементa
в первой строке остался без изменения):
| a b c d e | | x | | f |
| 0 h' i' j' k' | * | y' = | = | l' - |
| m n o p q | | z | | r |
где h' = h - g * b/a
, i' = i - g * c/a
, j' = j - g * d/a
, k' = k - g * e/a
, l' = l - g * f/a
.
- Вычесть из третьей строки уравнение, умноженное на
m/a
(так, чтобы элементa
в третьей строке остался без изменения):
| a b c d e | | x | | f |
| 0 h' i' j' k' | * | y' = | = | l' - |
| 0 n' o' p' q' | | z' | | r' - |
где n' = n - m * b/a
, o' = o - m * c/a
, p' = p - m * d/a
, q' = q - m * e/a
, r' = r - m * f/a
.
- Вычесть из третьей строки уравнение, умноженное на
n/h'
(так, чтобы элементh'
в третьей строке остался без изменения):
| a b c d e | | x | | f |
| 0 h' i' j' k' | * | y' = | = | l' - |
| 0 0 o'' p'' q'' | | z'' | | r'' - |
где o'' = (o' * h' - n' * i')/h'
, p'' = (p' * h' - n' * j')/h'
, q'' = (q' * h' - n' * k')/h'
, r'' = (r' * h' - n' * l')/h'
.
- Остается только решить систему с треугольной матрицей:
| a b c d e | | x | | f |
| 0 h' i' j' k' | | y' | | l' - |
| 0 0 o'' p'' q'' | | z'' | | r'' - |
Решение можно найти обратными ходом, начиная с последнего уравнения - сначала найдем z''
, потом y'
, а затем x
.
Пример решения:
2x + 3y + 4z + 5w + 6u = 7
1x + 2y + 3z + 4w + 5u = 6
3x + 4y + 5z + 6w + 7u = 8
- Вычтем из второй строки первую, умноженную на
1/2
:
| 2 3 4 5 6 | | x | | 7 |
| 0 1/2 1/2 3/2 7/2 | * | y | = | 5/2 |
| 3 4 5 6 7 | | z | | 8 |
- Вычтем из третьей строки первую, умноженную на
3/2
:
| 2 3 4 5 6 | | x | | 7 |
| 0 1/2 1/2 3/2 7/2 | * | y' = | = | 5/2 |
| 0 1/2 3/2 3/2 19/2 | | z' | | 13/2 |
- Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на
3
:
| 2 3 4 5 6 | | x | | 7 |
| 0 1/2 1/2 3/2 7/2 | | y'' | | 5/2 |
| 0 0 2 1/2 33/2 | | z'' | | 6 |
- Получаем систему с треугольной матрицей:
| 2 3 4 5 6 | | x | | 7 |
| 0 1/2 1/2 3/2 7/2 | | y'' | | 5/2 |
| 0 0 2 1/2 33/2 | | z'' | | 6 |
- Из последнего уравнения находим
z''
:
2z'' + 1/2 * 33/2 = 6
z'' = 9/8
- Из предпоследнего уравнения находим
y''
:
1/2 y'' + 1/2 * 9/8 + 3/2 y'' + 7/2 = 5/2
y'' = - 31/16
- Из первого уравнения находим
x
:
2x + 3 *(-31/16) + 4 * 9/8 + 5u + 6 = 7
x = 7/2 - 3 * (-31/16) - 4 * 9/16 - 5u/2 = 67/16 - 5u/2
Ответ: x = 67/16 - 5u/2, y = -31/16, z = 9/8
.