Сериалы Вам

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений с 5 неизвестными и 3 строками

Метод Гаусса - это способ решения системы линейных уравнений путем последовательного преобразования ее матрицы так, чтобы она приняла треугольный вид, а затем решения системы свелись к последовательному вычислению неизвестных.

Предположим, у нас есть система линейных уравнений с 5 неизвестными и 3 строками:

ax + by + cz + dw + e = f
gx + hy + iz + jw + k = l
mx + ny + oz + pw + q = r

Запишем ее в виде матричного уравнения:

| a  b  c  d  e |   | x |   | f |
| g  h  i  j  k | * | y | = | l |
| m  n  o  p  q |   | z |   | r |

Для применения метода Гаусса к данной системе, необходимо последовательно выполнить следующие шаги:

  1. Вычесть из первой строки уравнение, умноженное на g/a (так, чтобы элемент a в первой строке остался без изменения):
| a  b  c  d   e  |   | x    |   | f    |
| 0  h' i' j' k' | * | y' = | = | l' - |
| m  n  o  p   q |   | z    |   | r    |

где h' = h - g * b/a, i' = i - g * c/a, j' = j - g * d/a, k' = k - g * e/a, l' = l - g * f/a.

  1. Вычесть из третьей строки уравнение, умноженное на m/a (так, чтобы элемент a в третьей строке остался без изменения):
| a   b  c  d    e  |   | x     |   | f     |
| 0   h' i' j'  k' | * | y' =  | = | l' -  |
| 0  n' o' p'   q' |   | z'    |   | r' -  |

где n' = n - m * b/a, o' = o - m * c/a, p' = p - m * d/a, q' = q - m * e/a, r' = r - m * f/a.

  1. Вычесть из третьей строки уравнение, умноженное на n/h' (так, чтобы элемент h' в третьей строке остался без изменения):
| a   b      c      d     e  |   | x      |   | f      |
| 0   h'    i'     j'    k' | * | y' =   | = | l' -   |
| 0   0   o''  p''  q'' |   | z'' |   | r'' - |

где o'' = (o' * h' - n' * i')/h', p'' = (p' * h' - n' * j')/h', q'' = (q' * h' - n' * k')/h', r'' = (r' * h' - n' * l')/h'.

  1. Остается только решить систему с треугольной матрицей:
| a   b      c      d     e  |   | x      |   | f      |
| 0   h'    i'     j'    k' |   | y'     |   | l' -   |
| 0   0   o''  p''  q'' |   | z'' |   | r'' - |

Решение можно найти обратными ходом, начиная с последнего уравнения - сначала найдем z'', потом y', а затем x.

Пример решения:

2x + 3y + 4z + 5w + 6u = 7
1x + 2y + 3z + 4w + 5u = 6
3x + 4y + 5z + 6w + 7u = 8
  1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 1/2:
| 2  3  4  5  6 |   | x |   | 7 |
| 0  1/2 1/2 3/2 7/2 | * | y | = | 5/2 |
| 3  4  5  6  7 |   | z |   | 8 |
  1. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3/2:
| 2  3  4  5    6    |   | x    |   | 7       |
| 0  1/2 1/2 3/2   7/2  | * | y' = | = | 5/2   |
| 0 1/2 3/2 3/2 19/2  |   | z'   |   | 13/2 |
  1. Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 3:
| 2  3     4     5     6      |   | x     |   | 7       |
| 0 1/2   1/2  3/2    7/2    |   | y''   |   | 5/2   |
| 0 0    2     1/2  33/2 |   | z'' |   | 6    |
  1. Получаем систему с треугольной матрицей:
| 2  3      4      5    6      |   | x     |   | 7     |
| 0 1/2    1/2   3/2   7/2  |   | y'' |   | 5/2 |
| 0 0     2       1/2   33/2 |   | z'' |   | 6     |
  1. Из последнего уравнения находим z'':
2z'' + 1/2 * 33/2 = 6
z'' = 9/8
  1. Из предпоследнего уравнения находим y'':
1/2 y'' + 1/2 * 9/8 + 3/2 y'' + 7/2 = 5/2
y'' = - 31/16
  1. Из первого уравнения находим x:
2x + 3 *(-31/16) + 4 * 9/8 + 5u + 6 = 7
x = 7/2 - 3 * (-31/16) - 4 * 9/16 - 5u/2 = 67/16 - 5u/2

Ответ: x = 67/16 - 5u/2, y = -31/16, z = 9/8.