Сериалы Вам

Интеграл от рациональной функции

Рациональная функция - это функция, которую можно представить в виде дроби, в которой числитель и знаменатель могут быть полиномами. Интеграл от рациональной функции может быть найден с помощью метода частных дробей.

Метод частных дробей

Метод частных дробей заключается в разложении рациональной функции на сумму простых дробей. Для этого необходимо:

  1. Разложить знаменатель на множители
  2. Найти неопределенные коэффициенты для каждой простой дроби
  3. Представить исходную рациональную функцию в виде суммы простых дробей, используя найденные коэффициенты

Пример:

Найдем интеграл от рациональной функции:

$$ \int \frac{4x-3}{x^2-4x+3} dx $$

Сначала разложим знаменатель на множители:

$$ x^2-4x+3 = (x-1)(x-3) $$

Затем представим исходную функцию в виде суммы простых дробей:

$$ \frac{4x-3}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3} $$

Найдем коэффициенты A и B, умножив обе части уравнения на общий знаменатель:

$$ 4x-3 = A(x-3) + B(x-1) $$

Подставим значения x, чтобы найти коэффициенты:

При x=1:

$$ 4(1)-3 = A(1-3) \Rightarrow A = \frac{7}{-2} $$

При x=3:

$$ 4(3)-3 = B(3-1) \Rightarrow B = \frac{5}{2} $$

Теперь представим исходную функцию в виде суммы простых дробей:

$$ \frac{4x-3}{(x-1)(x-3)} = \frac{7/2}{x-1} + \frac{5/2}{x-3} $$

Интегрируем каждую простую дробь:

$$ \int \frac{4x-3}{x^2-4x+3} dx = \int \frac{7/2}{x-1} dx + \int \frac{5/2}{x-3} dx $$

$$ = 7/2 \ln|x-1| + 5/2 \ln|x-3| + C $$

где C - произвольная постоянная.

Заключение

Метод частных дробей является эффективным способом нахождения интеграла от рациональной функции. Важно помнить, что не все рациональные функции могут быть разложены на простые дроби, поэтому для некоторых интегралов может потребоваться использование других методов.