Что такое эпиморфизм?

В алгебре и теории категорий существует понятие эпиморфизма – это один из типов морфизмов между объектами в категории.

Определение

Эпиморфизм определяется как морфизм $f: A \rightarrow B$, такой что для любых объектов $C$ и $g_1,g_2: B \rightarrow C$, если $g_1 \circ f = g_2 \circ f$, то $g_1 = g_2$.

Другими словами, это значит, что каждый морфизм $g: B \rightarrow C$ можно представить в виде композиции $g = g_1 \circ f$ для некоторого единственного морфизма $g_1: A \rightarrow C$.

Примеры

Примером эпиморфизма может служить отображение из целых чисел в остатки по модулю, то есть $\pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$. Это отображение сжимает множество целых чисел до множества остатков от деления на $n$, и оно является эпиморфизмом, потому что каждый морфизм из $\mathbb{Z}_n$ можно представить в виде композиции $g_1 \circ \pi$ для некоторого единственного морфизма $g_1$.

Также эпиморфизмом может служить отображение из множества рациональных чисел в множество действительных чисел. Это отображение сжимает множество рациональных чисел до множества действительных чисел, и оно является эпиморфизмом, потому что каждый морфизм из действительных чисел можно представить в виде композиции $g_1 \circ f$ для некоторого единственного морфизма $g_1$.

Заключение

Эпиморфизмы являются важным понятием в теории категорий и алгебре, а также в математике в целом. Они используются для определения свойств, связанных с отображениями между объектами в категории, и помогают понять, как различные математические структуры взаимодействуют между собой.