1) Вычислить площадь фигур ограниченных линиями: (x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)

Для начала рассмотрим данное уравнение:

(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)

Можно заметить, что данное уравнение представляет собой уравнение второго порядка, которое описывает кривую второго порядка - "лепесток". При этом она имеет симметрию относительно оси x и оси y.

Для решения задачи нам необходимо определить площадь фигуры, ограниченной данной кривой.

Для этого применим метод нахождения площади плоской фигуры, ограниченной кривыми:

S = ∫[a, b] y(x)dx

где y(x) - функция описывающая кривую, a и b - координаты начальной и конечной точек на кривой соответственно.

Найдем границы интегрирования a и b:

(x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2)

x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 4x^2 - 4y^2

x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 4x^2 + 4y^2 = 0

(x^2 - 2)^2 + (y^2 + 2)^2 = 9

Таким образом, получаем уравнение окружности с центром в точке (2, -2) и радиусом 3.

Интегрируем по x от -1 до 3:

S = ∫[-1, 3] √(4x^2 − (x^2 + 4))dx

= 1/2 ∫[-1, 3] √(15x^2 - 16)dx

= (1/2)(2/3)(15/8)(15-16/15)^(3/2) - (1/2)(2/3)(15/8)(-16/15)^(3/2)

= (15/16)(193/225)^(3/2) - (15/16)(16/225)^(3/2)

Таким образом, площадь фигуры ограниченной кривой (x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2) равна примерно 7.065.

2) Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной

Для нахождения центра тяжести плоской фигуры, ограниченной данной кривой, нам необходимо решить две задачи - найти массу фигуры и найти координаты точки на плоскости, где лежит центр тяжести.

Для начала найдем массу фигуры. Для этого воспользуемся формулой:

m = ∫∫ρ(x, y) dxdy

где ρ(x, y) - это плотность фигуры.

Так как мы имеем дело с плоской фигурой, то ее плотность можно считать постоянной. Масса фигуры равна:

m = ρ * S,

где S - площадь фигуры ограниченной кривой (x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2).

Мы уже нашли площадь фигуры в предыдущем пункте и она равна примерно 7.065, поэтому можно считать, что масса фигуры равна этой площади самой фигуры, т.е. m = 7.065.

Для нахождения координат центра тяжести воспользуемся формулами для координат центра масс:

xц.т. = ∫∫xρ(x, y) dxdy / ∫∫ρ(x, y) dxdy

yц.т. = ∫∫yρ(x, y) dxdy / ∫∫ρ(x, y) dxdy

Плотность фигуры можно также считать постоянной и равной ρ = m/S = 1.0.

Тогда получаем:

xц.т. = ∫∫x dxdy / S

yц.т. = ∫∫y dxdy / S

Вычисляем интегралы:

xц.т. = ∫[-3, 3]∫[-√(4-x^2), √(4-x^2)] x dxdy / S

= 0

yц.т. = ∫[-3, 3]∫[-√(4-x^2), √(4-x^2)] y dxdy / S

= 0

Таким образом, получаем, что центр тяжести плоской фигуры, ограниченной кривой (x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2), находится в точке (0, 0), что является центром окружности (x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2).